黎曼传奇---迎接黎曼猜想的证明

25.09.2018 09:13

本文来源: 科技厅

　　黎曼传奇

　　---《科学家简史》第99回

　　穷教授翻江倒海傻博士英年早逝

　　杨义先教授

　　北京邮电大学信息安全中心主任

　　公共大数据国家重点实验室主任

　　道光六年（公元1826），是很不寻常的一年：美国第二任总统亚当斯死了，紧接着第三任总统杰斐逊也死了；印象派创始人莫奈，见状不妙，干脆也跟着死了！天啦，阎王爷这是要干啥，莫非想派大人物来人间？

　　果然，这年9月17日，在德国小镇布列斯伦茨的一个穷牧师家里，诞生了排行老二的“病秧子”，黎曼，全名波恩哈德.黎曼。黎老二家的日子，本来应该还过得去的；可呆板的阎王爷非要坚持“先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身”，于是，稀里哗啦，在短短几年间，又给小黎曼添了四个妹妹，然后坐等“天将如何降大任于黎曼也”。

　　在贫困和疾病中挣扎的小黎曼，并未放弃追求。他6岁上学，14岁入预科； 19岁时，嘿，还竟然考上了秀才，并遵父愿进入了哥廷根大学，攻读哲学和神学，以便子承父业，当一名能吃饱饭的牧师；然后，娶妻生子，从此过上平凡的幸福生活。可是，这份既定计划，却被上天否决了；因为，黎曼此生的本来使命，就是要在数学世界里“大闹天宫”，而且，早就被施了数学魔法。

　　比如，读中学时，校长见他穷得买不起教学参考书，便主动将自己收藏的勒让德数学名著《数论》借给黎二娃。可6天后，这部厚达859页的4部头巨著，竟被“完璧归赵”了，而且，这小子还说“此书了不起，我已看完了”。校长不信，马上出题测试，小黎果然对答如流，并且还颇有见解。于是，伯乐校长干脆一不做二不休，顺势又把大数学家欧拉的众多著作，推荐给了黎同学，让他不但提前掌握了微积分知识，而且还学到了欧拉的许多数学研究技巧。

　　黎大学生本该专攻哲学和神学的，可有一次，他却阴差阳错走进了数学课堂，那时，斯特恩教授正在讲授方程论、定积分和高斯的最小二乘法，于是，黎同学惊呆了；因为，他突然看见数学宇宙的黑洞大开，不容分说，就把他的身体和灵魂全都给吸进去了。从此，在征得慈父的同意后，黎老二就正式改换专业，决定在数学江湖闯荡一生，哪怕是上刀山下火海也在所不惜。21岁那年，为了师从更多的数学大师，黎曼干脆转学到柏林大学，并拜在雅可比门下，学会了高等力学和高等代数；以狄利克雷为师，掌握了数论和分析学；在斯泰纳的指导下，学到了现代几何；从文森斯坦那里，熟悉了椭圆函数论等。当年暑假期间，初生的黎牛犊，更是胆大妄为，竟然开始阅读顶级学术刊物，并在巴黎科学院《院刊》上，锁定了数学大牛柯西刚刚发表的崭新理论：单复变量解析函数。更出乎意料的是，经过几周的“闭门造车”，这小犊子还真有了新见解，为4年后撰写博士论文“单复变量函数的一般理论”奠定了坚实的基础。

　　黎秀才不但能对数学大牛的著作“隔空打牛”，而且还抓住任何机会，与他们当面切磋。有一次，狄利克雷来格丁根度假，黎曼就赶紧向他求教，并呈上自己未定稿的论文，征求意见；当然，两个多小时的研讨，使黎同学受益匪浅，并承认“听君一席话，胜读几天书”。25岁那年，小黎又将其博士论文呈给大数学家高斯审阅。只见高教授，一边“之乎者也”地读，一边摇头晃脑地笑，最后竟一拍沙发大叫道：“此文真乃令人信服也，小黎子的头脑已是创造性的、活跃的、真正的数学头脑也，尔之创造力真乃灿烂丰富也！”如此评语能出自不苟言笑、难得点赞的高老先生之口，绝对是“高，高，高家庄的高”；虽不算“太阳从西边出来”，也可算是“千年等一回”了！而后来的事实也证明，高老庄主确实慧眼识珠，仅凭此论文，黎博士就成了复变函数论的奠基人之一；而这篇文章，也成了“19世纪数学史上的杰作”。

　　数学几乎完全重塑了咱们的黎秀才，从精神上看，数学把他打造成了世界巨人，更让内心充满神奇的力量；从物质上看，数学让他成了“穷教授”，常常神情忧郁，一脸哀伤；从外表上看，数学使他成为了名符其实的“傻博士”，羞怯甚至笨拙的举止，常被同事嘲笑，而他沉默的回应，更让人觉得古怪又荒唐。

　　因为杰出的学术表现，黎博士毕业后，虽被格丁根大学留校，并在两年后破格提拔为讲师，但是，贫穷仍不肯与他说“拜拜”。原来，那时德国的臭老九们，自正教授以下，都是没基本工资的，收入的多少完全取决于选课学生的数量。因此，讲授科普《安全简史》的老师们，就衣食无忧；讲授专著《安全通论》的老师们，就得为五斗米发愁；而讲授“数学天书”的黎呆子嘛，唉，那就可想而知，真可谓“吃了上顿，还不知下顿有没有”。实在不忍心的格丁根大学，再次破例，于1855年开始给黎讲师发放基本工资，虽然只是少得可怜的年薪200美元，但至少能让他安心与数学难题搏斗了。哪知天有不测风云，这一年黎家又连遭人祸：父亲和一个妹妹相继去世，于是，黎讲师又得与哥哥一起，挑起照顾全家和3个妹妹的生活。好容易熬过了两载，年薪也涨到了300美元的黎副教授，刚想喘口气，还没来得及请媒婆，结果哥哥又撒手人寰；瞬间，日子就变得更难过了。甚至，这位全球数学界绝顶聪明的黎天才，不得不新增一个重大研究课题，即，精心计算：今天需要多少米，明天又找什么东西下锅！

　　1859年，著名数学家狄利克雷去世了；年仅33岁的黎光棍众望所归，被补缺任命为格丁根大学正教授，成为了高斯教席的第二任继承者，获得了一个科学家可能得到的最高荣誉。从此，丰厚的基本工资，才使得黎曼一家“吃馒头也敢就咸菜了”。小康后的黎教授，在朋友的撮合下，终于在36岁那年，娶到了一门满意的媳妇爱丽丝.科赫，并于次年有了自己的宝贝女儿，比萨。但是，由于长期的清贫生活，再加过度操劳和玩命的科研，黎教授的身体极度虚弱，精力迅速衰竭。蜜月刚过，就患上胸膜炎和肺结核；一年后又再添了黄疽病。终于，这位世界数学史上最具独创精神的数学家之一，病入膏肓的黎曼教授，于1866年7月20日，在意大利停止了心脏跳动，从而结束了连续四年的治病折磨。黎教授仅仅享年40岁，若不考虑“四舍五入”的数学算法，其实才39！唉，天妒英才呀，黎教授，您安息吧，再见！

　　那位唯恐天下不乱的看官说啦，黎教授咋还没“大闹天宫”呢？哥们儿，闹啦，而且还大闹过两次呢，生前一次，死后一次，难道你没看见？好吧，那就重放一次慢镜头吧，这回你可得盯紧点，别再开小差哟！

　　看，生前的“齐天大圣”来啦！

　　只见他一个跟斗，就翻上了南天门，然后竟揪住石狮子的耳朵把玩起来。这头石狮可不是一般神物，而是由当时的五大数学天王，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯等合作，基于复数、复函数和单值解析函数，树立的地标性建筑。可是，黎呆子哪管这些！他亮出博士论文，又“唰唰唰”在《数学杂志》上连发了四篇重要论文，从多个方面把过去的解析函数，从单值扩展到了多值。接着，又创立了复函数的本质方法，把“狮子面”换成了“黎曼面”，给多值函数赋以几何直观，将多值简化成了单值；又在黎曼面上引入了支点和横剖线等。经过一番行云流水的改造，哇，神狮竟然魔力大增，变成了数学的一个重要分支“复变函数理论”，极大地推动了拓扑学的初期发展。一百多年过去了，如今，黎曼-罗赫定理、柯西-黎曼观点、黎曼映射定理等，仍在南天门前闪闪发光呢。

　　杀到凌霄宝殿后，“黎悟空”发现露天广场有好大一块空地，于是，他全然不请示玉皇大帝，就开始私搭乱建，动土开工了；因为，他要修建一个名叫“黎曼几何”的全新宝殿。但见他，先将古今中外的所有几何学，包括当时刚刚诞生的非欧几何、双曲几何等连成一串长龙；然后，祭出为竞争巴黎科学院奖金的，有关热传导的“巴黎之作”；接着摆脱了高斯等前辈“把几何对象局限在三维欧氏空间的曲线和曲面”的束缚，从维度出发，瞬间就建立了一套更抽象的几何空间。待到天庭城管的临时工想干涉时，哈哈，已经晚啦，金碧辉煌的全新几何体系，已笑傲江湖了。站在黎曼几何的塔顶，再往下看时，啊，那真是“一览众山小”啦！原来，只有三种不同的几何学，其差别仅在“通过给定一点，能画几条平行的定直线”而已：若只能画一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；若一条都不能画出，则为椭圆几何学；若存在一组平行线，就得到第三种几何学，即，罗巴切夫斯基几何学。于是，这位手无缚鸡之力的黎秀才，仅在弹指间，就结束了过去一千多年来，关于“欧几里得平行公理”的争论。黎曼几何不但导致了另一种非欧几何，椭圆几何学的诞生；而且，更出乎意料的是，它竟然在半个多世纪后，引导一位小小的专利员，爱因斯坦同志，成功地创立了广义相对论。如今，黎曼几何已成为理论物理学必备的数学基础了。

　　在数学天庭中，微积分无异于太上老君的炼丹炉，可是，在“黎悟空”眼里，总觉得哪里有点不对劲儿！于是，当他发现波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱和维尔斯特拉斯等数学大牛，都在全力以赴，试图将“炼丹炉”严格化时；作为后起之秀的黎教授，也挤过来凑热闹。1854年，他“啪”地一声，就扔出了语惊四座的论文“关于利用三角级数表示一个函数的可能性”，吓得太上老君赶紧去请太白金星出面调停。当柯西前辈唱出“连续函数必定是可积”时；黎曼后生马上和诗一首，指出“可积函数不一定是连续的”。当全世界数学家都以为“连续函数一定可微”时，黎师兄却拨出猴毛一吹，妈呀，竟然给出了一个“连续而不可微”的著名反例！到此，人类终于搞清了连续与可微的关系。如今，微积分教科书的“炼丹炉”上，还清晰地刻着黎曼积分、黎曼条件等知识产权标签呢。

　　在王母娘娘的瑶池仙境里，处处都是小桥、流水、神家；于是，便引出了所谓“哥尼斯堡七桥问题”等看似简单却又长期难解决的问题，这便促使欧拉等数学大神们，对组合拓扑学进行研究；可却始终只获得了“闭凸多面体的顶点、棱和面的个数关系”等零散结果。黎教授本想亲自操刀宰了这个数学难题，可那时他已病魔缠身，无力上阵了；于是，只好“白帝城托孤”，叫来比萨大学的贝蒂教授，“叽里咕噜”传授了一番锦囊妙计。结果，这位洋“诸葛”，还真把黎曼面的拓扑分类，推广到了高维图形的连通性，并在拓扑学的多个领域取得了辉煌业绩；终于使黎曼成为了当之无愧的“组合拓扑学开拓者”。

　　黎曼这位“齐天大圣”在数学天庭中，真可谓翻江倒海，他“捣碎的黄鹤楼”比比皆是,“倒却的鹦鹉洲”数不胜数。限于篇幅，肯定不可能在此详述他的众多业绩，但是，你若在数学天庭中放眼望去，他那金箍棒留下的“伤痕”，至今仍然累累可见。像什么黎曼ζ函数、黎曼积分、黎曼引理、黎曼流形、黎曼空间、黎曼映射定理、黎曼-希尔伯特问题、柯西-黎曼方程、黎曼矩阵等等，简直令人眼花缭乱。反正，菩提老祖的这位神秘弟子，几乎都快把数学殿堂改造成“黎曼之家”了，幸好如来佛祖及时派来了救苦救难的观音菩萨。

　　其实，生前的“齐天大圣”还比较理智，他主要折腾的对象，只是各种数学“建筑物”，而对各路数学大仙们还是彬彬有礼的。但是，生后的“黎悟空”就更不得了啦，他直接把神仙们，折腾得惨不忍睹，甚至死去活来，而且持续时间长达150多年之久！

　　剧情大约是这样的，1859年的第一场雪，来得比以往更晚一些。刚刚当选“柏林科学院通信院士”的小黎子，用短短8页簿纸，向全球数学家提交了一篇“小论文”，名叫“论小于给定数值的素数个数”。也许是嫌“洛阳纸贵”吧，穷酸的黎博士，在文中多处用“证明从略”，来阐述了几个重要定理，并给出了一个承认自己也无法证明的猜想，即，黎曼猜想。正是这篇弱不禁风的“小论文”，吹响了折腾各路数学大仙的冲锋号。

　　首先是那几处“证明从略”，就让后世数学家们像无头苍蝇一样，碰得头破血流。40年后，芬兰数学家梅林，才总算碰到了第一条“死老鼠”，不过这已足够让梅教授名垂青史了；46年后，被黎曼一笔带过的一个“小命题”，才由德国数学家蒙戈尔特，最终给出了完整的证明。

　　至于那个“黎曼猜想”嘛，更让数学大仙们灰头土脸，无地自容！甚至连数学界的东海龙王，希尔伯特教授，都不得不于1900年，在法国巴黎颁布菲尔兹奖的“国际数学家大会”上，向全球数学家们发出“圣旨”，布置了必须完成的“家庭作业”：花100年时间，在本世纪内解决黎曼猜想。但是，可怜的数学家们哟，最终却只交了白卷。不服输的美国克雷数学研究所，又于2000年，仍在巴黎发起了一个数学会议，决定延长考试时间，继续把黎曼猜想作为“最为重要的7个数学难题之一”，并且还咬牙切齿地发誓说：解决黎曼猜想者，将获巨奖。

　　伙计，我敢保证，与费尔马猜想和哥德巴赫猜想并称为“世界数学三大猜想”的黎曼猜想至今悬而未决，肯定不是数学家们没努力；实际上，黔驴技穷的大仙们，早就被“黎悟空”快给玩死了，甚至，恨不能与该猜想同归于尽呢。比如，

　　咬住黎曼猜想不放的美国数学家纳什，真的精神分裂了；幸好后来在贤妻的照顾下终于康复，还获得了诺贝尔奖，并成为经典电影《美丽心灵》的男一号。

　　98岁的数学家哈达玛和96岁的数学家普森，为了想解决黎曼猜想，甚至都幽默地表示“不敢死”。

　　前面提到的那位东海龙王，希尔伯特教授，也担心自己会因黎曼猜想而“死得不安宁”；因为，有人曾问他，若500年后能重回人间，你将最希望了解什么事情？希尔伯特毫不迟疑地回答：我想知道，黎曼猜想到底解决了没有。

　　据说，华罗庚的导师、英国数学家哈代教授，在一次有惊无险的航行事故中，留下的遗言竟然是“我已证明了黎曼猜想”。因为，他的如意算盘是：如果自己真的死了，那数学界就会又多一个悬案，误以为他已为数学家们出了一口恶气，征服了“黎悟空”；如果没死，那就是多了一个数学玩笑而已。

　　美国数学家蒙哥马利，甚至断言：若魔鬼答应数学家们，可以用自己的灵魂去换取一个数学证明，那么，绝大部分数学家，将会拿“黎曼猜想的证明”去成交。

　　至于“证明黎曼猜想”过程中的各种“诈糊”，那就更多了。无论是业余选手，还是数学拳王，都不知道曾经多少次，在各种场合下，宣布过自己终于“证明了黎曼猜想”。当然，事后都无一例外地发现，原来那只是“黎悟空”，在水帘洞撒了一泡尿而已！

　　其实，刚开始时，数学家们还是信心满满的。他们决定分兵两路，一路试图否定该猜想；另一路则在假定该猜想成立的前提下，在科学界开疆扩土。结果，第二路大军势如破竹，凯歌高奏，很快就完成了一千多条重要定理，并打造出了看似无比辉煌的数论大厦。这下就更麻烦了，如果第一路大军证明了该猜想，那将皆大欢喜；但是，若黎曼猜想被证伪，那数论中将发生“十级大地震”，许多仙境将遭受灭顶之灾，许多顶级数学家几辈子的成就，将化为乌有。

　　那么，所谓的黎曼猜想，到底是什么呢？若用严格的数学定义去说，那就是“素数分布等于黎曼ζ函数的某种非平凡零点分布”。哥们儿，您懂了吗？就算您懂了，估计绝大部分“吃瓜群众”不但难懂其内容，甚至连题目中的字母“ζ”都不认识。不过，幸好这并不影响大家看热闹，也许还有助于您看门道呢。其实，简单说来，黎曼猜想就是：素数将蕴含在某个特殊的带状区域之中，更准确地说，素数将分布在该区域中间的一条名叫“临界线”的直线上。

　　那么，黎曼猜想到底有什么用呢？这样说吧，傻瓜为什么会缘木求鱼呢，因为，他不知道“鱼儿只能分布在水中”；外行捕鱼为啥不如渔夫呢？因为，后者更知道鱼儿在河里的分布区域等。换句话说，如果知道了行踪不定的素数分布规律，那么，数学家们便能有的放矢地“捕捞”素数了；而在理论和应用领域内，如今人类对素数的需求越来越大，当然就更希望搞清楚它们的分布特点了。

　　第一路大军的战略，其实还是很清楚的；只是因为“敌人太狡猾”，所以才拿它没办法。比如，刚开始时，大仙们想“关门打狗”，即，证明那个分布区域的边界上没有素数，然后，再把这个“边界包围圈”逐步缩小，直到瓮中捉鳖。而且，非常幸运的是，法国数学家哈达玛和比利时数学家普森，竟然真的旗开得胜，几乎同时独立攻下了这首个堡垒。一时间大家洋洋得意，彼此弹冠相庆，取出数学界的诺贝尔奖，菲尔兹奖，就想毫不客气地就往头上戴；因为，这确实是一个重大成果，它导致了另一个悬疑百年的数学猜想（素数猜想）被证明。但是，大仙们高兴得太早了，因为，从此以后，无论唐僧念什么紧箍咒，那个“包围圈”就再也未被缩小过了。

　　大仙们的另一种战术是“放长线钓大鱼”，即，证明“在那个区域的中间线及其附近，确实有很多非平凡的零点”，换句话说，鱼儿们确实都分布在那条“中间线”周围。与“关门打狗”的情形类似，刚开始时，也是捷报频传。比如，55年后的1914年，丹麦数学家玻尔和德国数学家兰道发现：确实有众多鱼儿，紧密团结在以临界线为核心的“线中央”周围；但却无法断定是否还有少数“不讲政治规矩”的其它鱼儿。同年，英国数学家哈代教授更发现：就在那根中间线上，真的串联着无数条鱼儿！哇，一时间数学界又不得了啦，甚至都以为可以筹备庆功宴了！结果，数学家之愁“才下眉头，又上心头”；因为1921年，仍然是哈代教授等悲伤地发现：他们7年前发现的那“无数条鱼儿”，真的只是“无数”，因为它们在整条中间线上的占比，仅仅是百分之零而已！又过了21年的 1942 年，挪威数学家赛尔伯格，费了九牛二虎之力，才总算突破了哈代的这个百分之零；该成果获得的评价之高，肯定会出乎你意料，因为，甚至连数学大牛玻尔都说：“它是二战期间整个欧洲的唯一数学新闻…”。“黎悟空”戏弄大家115年后，1974年，美国数学家列文森，终于在临死前，将那个“非零百分比”提升为34%；1980年，中国数学家楼世拓与姚琦，再将它提升为35%；1989年，即被“黎悟空”调戏了130年后，美国数学家康瑞，才又将它改进为40%；从此以后，就好像进入了“休渔期”，再也没进展了。反正，在过去159年中，“长线”倒是放出去了，可始终未能“钓到大鱼”，只捕获了一些“虾米”而已。

　　“黎悟空”折腾数学家的最惨情节，其实出现在“抓舌头”战术之中，即，大仙们试图抓到某位“叛徒”，然后，以此揭穿敌人的“真理”；用数学的行话来说，就是找反例来否定黎曼猜想。可是，“抓舌头”谈何容易，首先得抓到嫌疑犯，然后再搞清嫌犯是不是敌兵，最后再想办法逼“舌头”招供。于是，长征便开始了：抓呀抓，数学家们左抓落空，右抓失望；时间一天天过去了，手上却仍然啥也没有！终于，在“黎悟空”发难的第44个年头，1903年，丹麦数学家格兰姆抓到了15 个嫌疑犯,即，非平凡零点；结果一审查，唉，他们统统都是“良民的干活”。数学家们不死心，继续大面积撒网，直到1925 年，才抓到区区138个嫌犯，而且仍然全都是“良民”；并且，自那以后就网网扑空了。又过了7年，德国数学家，西格尔，从黎曼的手稿“缝穴”中，挖掘出了一种新算法，从此才把“抓舌头”的工作，推上了快车道，并在计算机之父图灵的合围下，很快逮到了上千位嫌犯；特别是二战后，借助强大的计算机能力，从1956年到1969年的十几年间，被逮住的嫌犯人数从2.5万，猛增到350万。于是，数学家们的自信心又要爆棚了，并迅速展开了更大规模的“搜捕”活动；果然到1979年，“俘虏”人数就达到了8100万，接着就是2亿，然后是3亿。直到2001年，计算机专家终于出手了，只见德国工程师魏德涅夫斯基，请来互联网上的数千台电脑，连续几顿“满汉全席”搞定“肉机”后，一按电钮，只听“咔嚓”一声，瞬间就将“俘虏”数推高到了10亿；2004年，也是这个魏工程师，又逮住了1万亿个“俘虏”！可是，令人无比沮丧的是，长达150多年的“抓舌头”工程，竟然连一个“舌头”也没抓到，反而是差点冤枉了1万亿个“好人”。唉，在一声叹息之中，数学家们几乎准备向“黎悟空”投降了！